Né en 1964. Après des études de philosophie à l’École Normale Supérieure, il rejoint en 1987 l’École du Théâtre national de Chaillot dirigée par Antoine Vitez, où il reçoit une formation théâtrale pendant trois ans. Il fonde alors sa compagnie le Théâtre-Machine avec laquelle il crée ses premiers spectacles.

En 1991, il présente au Théâtre de Gennevilliers Les Hommes de neige, trilogie composée de Woyzeck de Georg Büchner, Tambours dans la nuit de Bertolt Brecht, Don Juan revient de guerre d’Ödön von Horváth, qui reçoit le prix de la révélation théâtrale du Syndicat de la critique. La même année, il met en scène Ajax de Sophocle et en 1992 La Cerisaie d’Anton Tchekhov (tournées en France et à Moscou).

Il est directeur du Centre dramatique national d’Orléans de 1993 à 1998 où sont joués et créés, Docteur Faustus d’après Thomas Mann (en collaboration avec Giorgio Barberio Corsetti, 1993), Le Conte d’hiver de Shakespeare (1993), Amphitryon de Heinrich von Kleist (1994) et Paradis verrouillé (deux essais d’après Kleist : Sur le théâtre de marionnettes et Penthésilée, fragments, 1994), Franziska de Frank Wedekind et Peer Gynt d’Henrik Ibsen (1995), enfin Dans la jungle des villes de Bertolt Brecht (1997).

En 1999, il crée Le Marchand de Venise de Shakespeare au Théâtre des Bouffes du Nord. Directeur du Théâtre national de Strasbourg et de l’École Supérieure du TNS de 2000 à 2008, il y crée Prométhée enchaîné d’Eschyle, L’Exaltation du labyrinthe d’Olivier Py et La Mouette d’Anton Tchekhov (2001), La Famille Schroffenstein d’Heinrich von Kleist (2002), Gespenster (Les Revenants) d’Ibsen, en langue allemande, avec les acteurs du Schauspiel de Francfort/Main et Le Misanthrope de Molière (2003), Brand d’Ibsen (2005), prix Georges Lerminier du Syndicat de la critique (meilleur spectacle théâtral créé en province), Vêtir ceux qui sont nus de Luigi Pirandello (2006), L’enfant rêve de Hanokh Levin et Les Trois Sœurs de Tchekhov (2007), et enfin Tartuffe de Molière (2008).

Il a également mis en scène plusieurs spectacles de théâtre à l’étranger, notamment Measure for measure de Shakespeare en anglais au festival d’Édimbourg (1997), Le Marchand de Venise en italien au Piccolo Teatro de Milan (1999), Woyzeck de Büchner en allemand au Bayerisches Staatsschauspiel de Munich (1999).

Pour l’opéra, il met en scène les œuvres de Fénelon (Le Chevalier imaginaire, 1992), Bartók (Le Château de Barbe-Bleue, 1993), Beethoven (Fidelio, 1995), Janácek (Jenufa, 1996), Dazzi (La Rosa de Ariadna, 1995), Verdi (Rigoletto, La Monnaie, Bruxelles, 1999), Strauss (Elektra, Opéra du Rhin, Strasbourg, 2002). Pour le Festival d’Aix-en-Provence, il met en scène La Flûte enchantée de Mozart (1999), L’Affaire Makropoulos de Janácek (2000), Wozzeck de Berg (2003) et la Tétralogie de Wagner sous la direction de Simon Rattle (L’Or du Rhin, 2006, La Walkyrie, 2007, Siegfried, 2008, Le Crépuscule des dieux, 2009). En 2008, il crée pour l’ouverture de saison de la Scala de Milan Don Carlo de Verdi ; il met en scène Pelléas et Mélisande de Debussy à l’Opéra-Comique (2010) et Idoménée au Théâtre des champs Élysées (juin 2011). En octobre 2012 il met en scène Der ferne Klang de Franz Schreker à l’Opéra national du Rhin, et en 2013 Don Giovanni de Mozart au Théâtre des Champs-Élysées. En novembre 2015 il mettra en scène Norma de Vincenzo Bellini au Théâtre des Champs-Élysées.

Nommé en janvier 2010, directeur de la Colline – théâtre national, il y a présenté Rosmersholm et  Une Maison de poupée d’Ibsen (2009), Lulu de Wedekind (2010) ; durant la saison 2011-12 il a présenté deux pièces d’Arne Lygre, Je disparais (2011) et Tage unter (Jours souterrains) dont la création a eu lieu à Berlin (2011) et a été présentée en langue en allemande à La Colline en février 2012.

En juillet 2012, Stéphane Braunschweig a créé Six personnages en quête d'auteur d'après Luigi Pirandello au Cloître des Carmes dans le cadre de la 66è édition du Festival d'Avignon, ensuite repris à La Colline au mois de septembre, et lors d'une tournée nationale qui s'est prolongée jusqu'à janvier 2013.

En 2014, il met en scène Le Canard sauvage d’Henrik Ibsen, créé à la Colline le 10 janvier 2014 ; et Glückliche Tage (Oh les beaux jours) de Samuel Beckett, créé à Düsseldorf et repris à La Colline en juin 2014. Le Canard sauvage a été invité par le festival Ibsen et présenté à l’automne 2014, au théâtre national d’Oslo (tournée 2015-2016).

En octobre 2014, Stéphane Braunschweig a mis en scène Rien de moi d'Arne Lygre, à La Colline.

Avec la création des Géants de la montagne en septembre 2015, Stéphane Braunschweig a signé sa troisième mise en scène d’une pièce de Pirandello.

Nommé directeur de l’Odeon-théâtre de l’Europe le 15 janvier 2016, Stéphane Braunschweig y a créé : Soudain l'été dernier, de Tennessee Williams (2017), Macbeth, de William Shakespeare (2018), L'École des femmes, de Molière (2018), Nous pour un moment, d'Arne Lygre (2019) et Oncle Vania [Дядя Ваня], d'Anton Tchekhov (2020).

Il a publié chez Actes Sud un recueil de textes et d’entretiens sur le théâtre intitulé Petites portes, grands paysages, et traduit de l’allemand, de l’italien ou du norvégien des pièces de Büchner, Kleist, Brecht, Pirandello et Lygre.